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3.Projection
 
 
 
 
 
 
 
 

 

3. Le choix d'un système de projection

La question du choix d'un système de projection est la question-clé de tout cartographe: comment représenter sur un plan (la feuille de la carte, à 2 dimensions) une portion de sphère (la Terre, à 3 dimensions)? Je savais déjà que l'on ne peut pas y parvenir sans admettre des déformations. Pour causer brutal, ça veut dire qu'on ne peut pas aplatir une peau d'orange sans la déchirer. N'étant pas cartographe, je me suis dit que, disposant d'images de terrain carrées provenant des données SRTM3 de la NASA, le plus simple était de les juxtaposer comme une simple mosaïque, et seulement après ce montage, de leur appliquer une technique de projection cartographique. Et c'est alors que je me suis mis à réfléchir... et puis à beaucoup lire, pour essayer de comprendre. Mon niveau de compréhension est resté schématique.

Il existe un nombre impressionnant de systèmes de projection ou de coordonnées. J'en ai compté 65 dans un document de l'ESRI (Environmental Systems Research Institute), spécialiste mondial des SIG (Systèmes d'Information Géographique).  Une telle variété s'explique par le fait que les cartes ne peuvent respecter en même temps les distances, les surfaces (on parle alors d'équivalence), et les angles (on parle alors de conformité), mais seulement 2, voire 1 seul de ces critères, et quelquefois encore, dans certaines zones ou directions seulement: ces contraintes ont attisé l'inventivité des cartographes, donc engendré de très nombreux modèles et variantes. En exceptant quelques "bizarreries", on peut classer les systèmes de projections en 3 catégories:

- les projections azimutales (appelées aussi planaires, ou zénithales): elles sont centrées sur un point (un pôle, un point de l'Equateur, ou un point quelconque entre les 2, dit "oblique"). Tangentes ou sécantes, elles transforment les méridiens en rayons également espacés qui partent de l’origine, et les parallèles en cercles concentriques autour de cette origine (et pas forcément régulièrement espacés). Des variantes appliquent des déformations diverses pour obtenir des résultats particuliers: ainsi, l'image ci-contre montre une projection équidistante azimutale dans laquelle la distance et la direction, mesurées à partir du point central, sont toutes deux exactes..

- les projections équatoriales (appelées aussi cylindriques): tangentes ou sécantes à un grand cercle du globe, elles transforment les méridiens en droites verticales également espacées et les parallèles en droites horizontales (non nécessairement régulièrement espacées). L'image ci-contre schématise la très célèbre projection de Mercator. A proximité de l'équateur, les parallèles et les méridiens forment des carrés, puis les parallèles s'écartent de plus en plus à mesure qu'on s'en éloigne. Sous cette projection, les angles sont conservés mais pas les surfaces: il s'agit d'une projection conforme non équivalente. On remarque qu'un avion partant du Grand Nord pour l'Antarctique en suivant imperturbablement un cap sud-ouest (225°) trace sur cette carte  une ligne doublement incurvée et non une droite.

- les projections coniques: elles transforment les méridiens en rayons partant de l’origine, régulièrement espacés mais ne constituant pas nécessairement un tour complet, et les parallèles en cercles concentriques autour de l’origine (non nécessairement régulièrement espacés). Elles peuvent être tangentes ou sécantes. L'image ci-contre schématise une projection conique sécante le long de 2 parallèles standards, développée à l'est et à l'ouest d'un méridien central.  Selon l’espacement entre les parallèles, on obtient des résultats différents. Lorsqu’ils sont également espacés (c'est le cas dans la projection conique et équidistante) la projection est équidistante Nord - Sud mais elle n’est ni conforme ni équivalente. Pour les petites surfaces, la distorsion totale est minime. Mais ici, sur la très répandue projection conique conforme de Lambert, les parallèles centraux sont moins espacés que les parallèles se trouvant près des bords, et les petites formes géographiques sont conservées quelle que soit l'échelle de la carte.

Parmi les 3 catégories de projections, il était évident qu'une projection cylindrique s'avérait la plus proche des ressources dont je disposais. Si je me contentais de juxtaposer les tuiles SRTM carrées, j'obtiendrais une projection plate carrée, ayant l'équateur comme parallèle de référence. Seulement, les proportions n'en seraient pas très harmonieuses pour nos latitudes: la France y apparaîtrait écrasée du nord au sud. Je tenais en effet à donner une apparence familière à ces cartes, donc à déformer les carrés des tuiles SRTM en rectangles assez proches des proportions correctes. Quelles devraient être ces proportions?

Reprenons: je voulais obtenir une projection ayant à peu près la latitude moyenne de la France comme parallèle de référence, et juxtaposant des rectangles ayant les mêmes proportions partout.

L'image ci-contre résume le raisonnement que j'ai suivi. Par convention, les longueurs des méridiens sont conservées tout autour du globe: le long d'un méridien quelconque, 1 degré de latitude vaut 40000km/360°, soit environ 111km. Par contre, les longueurs des parallèles varient comme le cosinus de leur latitude (nombres en magenta à droite de l'image): à l'équateur, 1° de parallèle a la même longueur que le degré de méridien (cos0°=1); à la latitude 20°, 1° de parallèle ne vaut plus que 0.939 fois le degré de méridien, etc. Aux pôles tous les méridiens se coupent, et la longueur du parallèle est nulle, concentrée en un point. L'image montre une minuscule carte de France positionnée aux bonnes latitudes sur un-demi fuseau du globe terrestre.

On voit qu'à une latitude de 45.5°, 1° de parallèle vaut 0.7 fois le degré de méridien. Cette latitude me convenait car elle partage à peu près également l'étendue nord-sud de la France, Corse comprise, c'est-à-dire entre 41°30' et 51° nord environ. Je l'ai donc retenue comme parallèle de référence pour mes cartes de France. C'est sur cette proportion largeur/hauteur=0.7 que toutes les tuiles SRTM de 1° de côté me semblaient devoir être déformées puis assemblées.

Dans ces conditions également, on peut observer comment le planisphère précédent, "plat carré", s'est déformé en "équirectangulaire": le parallèle de référence n'est plus l'équateur mais le parallèle 45.5°, non seulement nord mais également sud. On a ainsi une projection cylindrique non plus tangente à l'équateur, mais sécante aux 2 parallèles 45.5°. L'image s'est étirée dans le sens nord-sud.

Voici les caractéristiques de cette projection équirectangulaire:

- On l'appelle également projection cylindrique simple, et plate carrée quand le parallèle de référence est l'équateur (les cellules sont alors des carrés et non des rectangles)..

- Basée sur des calculs simples, donc facile à construire, elle fut répandue autrefois. Le globe est converti en une grille cartésienne où chaque cellule a la même taille, la même forme et la même surface. Ressemblant à la projection de Mercator, elle déforme moins les régions polaires que celle-ci. Tous les méridiens et tous les parallèles sont des droites, qui se coupent à 90 degrés. Les pôles sont représentés par les deux lignes droites transversales qui limitent la grille.

- Bien que ni conforme ni équivalente, elle présente des distorsions admissibles dans de nombreuses configurations. La distorsion des formes et des surfaces est d'autant plus grande que les parallèles de référence sont plus éloignés, mais elle ne devient visuellement gênante que si l'on s'en écarte. Les 4 directions cardinales (nord, sud, est, ouest) sont fidèles, et non les autres directions. La ligne magenta montre la route de notre avion qui suit le cap sud-ouest (225°): cette fois la ligne est une droite (ce qui s'avère visuellement intéressant), mais elle n'est toujours pas tracée au 225 de la carte (alors que le tracé était fidèle près de l'équateur sur une projection de Mercator).

- Cette projection est idéale pour les plans de villes et en général toutes les cartes à grande échelle où l'on veut éviter des problèmes de distorsion. Elle est très utile pour les repérages directs et simples des coordonnées, ainsi que pour les cartes indexées.

Tout ceci me conduisait à ce que chacune de mes tuiles SRTM, dessin bitmap affiché par 3DEM sur mon écran en un carré de 697x697 pixels, soit un rectangle de 700 pixels d'ouest en est, et de 1000 pixels du nord au sud. Ces mesures présentaient un bon compromis: une dimension déformait à peine le bitmap d'origine, l'autre était un multiple idéal, l'une et l'autre étaient des multiples de 100 et divisibles par 4, toutes propriétés présentant des avantages dans la manipulation et le dessin.

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